Jerarquía de las Operaciones Matemáticas

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Los errores que se comenten en las operaciones aritméticas simples se deben, en gran medida, a que existen pequeños ‘huecos’ en el conocimiento del orden en el cual deben llevarse a cabo dichas operaciones, incluso existen factores históricos que intervienen en estos fallos, ya que a lo largo de la historia, las convenciones han cambiado en un par de ocasiones y es posible que existan libros o documentos antiguos que contienen información que contrasta con la convención actual, se hace un resumen histórico al final de este artículo por si deseas consultarlo.


Más grave aún, existen algunas calculadoras que tienen un pequeño error en su algoritmo, y arrojan resultados erróneos.


Las matemáticas son una herramienta, quizá la más útil de todas cuando se trata de plantear y resolver problemas científicos, así como de la vida cotidiana. Y no, las matemáticas no deberían ser el problema a tratar en sí, sino la herramienta para solucionarlos. Por este motivo, es de vital importancia conocer el lenguaje matemático y adquirir el conocimiento y la práctica, para emplearlas de manera correcta y sencilla al momento de a resolver problemas con ellas.

Las matemáticas son también un lenguaje, y por lo mismo, tienen reglas bien definidas para evitar ambigüedades. Como lenguaje, su uso debe ser también conciso y simplificado, por lo que se ha creado una convención general, llamada jerarquía, u orden, de las operaciones matemáticas, lo que se resume de la siguiente manera:

1. Paréntesis. Realizar las operaciones dentro de los símbolos de agrupación, ya sean paréntesis ( ), corchetes [ ] o llaves { }.

Nota: una vez que las operaciones dentro de los paréntesis se han llevado a su mínima expresión, los paréntesis se eliminan, a menos que aún sean necesarios debido a que aún exista más de un término después de la simplificación.


Forma correcta:

    \[ 6 \times (5+3)= 6 \times 8 = 48 \]

Forma incorrecta:

    \[ 6 \times (5+3)= 30 + 3 = 33 \]


2. Exponentes. (Potencias o raíces). Ejecutar exponentes antes de realizar multiplicaciones/divisiones y sumas/restas.

Forma correcta:


    \[ 5 \times 2^2= 5 \times 4 = 20 \]

Forma incorrecta:

    \[ 5 \times 2^2= 10^2 = 100 \]


3. Multiplicaciones y Divisiones. Ejecutar multiplicaciones y divisiones antes de sumas y restas.


Forma correcta:

    \[ 2+5 \times 3= 2+15 = 17 \]

Forma incorrecta:

    \[ 2+5 \times 3= 7\times 3 = 21 \]


4. Sumas y Restas. Ejecutar sumas y restas.

Las sumas restas tienen la misma jerarquía, así como las multiplicaciones divisiones tienen la misma jerarquía.

En caso de que haya más de una operación de multiplicación y/o división seguidas, por ejemplo a \times b \div c, se realizan las operaciones de izquierda a derecha conforme van apareciendo los términos. Por ejemplo:


Forma correcta:

    \[ 30 \div 5 \times 3 = 6 \times 3 = 18 \]

Forma incorrecta:

    \[ 30 \div 5 \times 3 = 30 \div 15 = 2 \]


Nota:Los símbolos de agrupación son útiles para modificar el orden (o jerarquía) de las operaciones a nuestra necesidad o antojo. Hay que tener cuidado al incluirlos, para que no exista ambigüedad en lo que se quiere expresar.

Vea también:  I - Los Números

Es importante mencionar las causas más comunes de errores en este tema:


En primer lugar, cuando se trata de distintos símbolos matemáticos para representar las mismas operaciones matemáticasno existe uno que tenga mayor prioridad que otro. Es importante mencionar esto, porque hay personas que argumentan que ÷ y / tienen diferente significado cuando se trata de divisiones de dos números, lo cual es incorrecto. Estos símbolos son:

Operación Matemática Símbolo (s)
Suma+
Resta-
Multiplicación⋅ × ∗
ab a(b) (a)b (a)(b)
División: / ÷ —

En segundo lugar, el orden de las operaciones se establece para simplificar al máximo la escritura matemática, logrando expresiones completamente definidas y sin ambigüedades. Es deseable que se utilice la menor cantidad de símbolos de agrupación como sea posible. Tomemos el siguiente enunciado como ejemplo:


“Ayer compré 3 kg de tomate y 5 kg de cebolla, el total fue $123”


Considerando que la letra t representa el precio de un kg de tomate, y c el precio de un kilo de cebolla, la expresión matemática que representa a este enunciado es:


3t + 5c = 123


Esta expresión está suficientemente definida y se han utilizado la menor cantidad de símbolos posibles, ningún símbolo de agrupación es requerido, ya que esta expresión se rige por la jerarquía antes definida.

En el supuesto caso en el que la suma tuviera prioridad sobre la multiplicación, la expresión matemática que representa lo que dice el enunciado, sería:


(3t) + (5c) = 123


Ya que si la expresión fuera 3t + 5c = 123, primero se tendría que realizar la suma t+5, lo que no tiene ningún sentido para el planteamiento del problema; para corregir esto tendríamos que escribir (3t) + (5c) = 123, lo cual complica la escritura sencilla que se tenía anteriormente.

En tercer lugar, hay personas que argumentan que la multiplicación implícita tiene precedencia sobre la división, como en el caso de ax/by; dicen que primero se debería de realizar la multiplicación a*x , luego se debería multiplicar b*y, y por último dividir ambos resultados. De acuerdo a la jerarquía de las operaciones, y al no existir símbolos de agrupación en la expresión ax/by, las multiplicaciones y divisiones deber ser tratadas con la misma prioridad, y se deben realizar las operaciones de izquierda a derecha, a como van apareciendo.

De hecho, para evitar confusiones, se puede recurrir al hecho de que la división es la operación inversa a la multiplicación, es decir, que a/b = a*(1/b).


Jerarquía de las Operaciones Matemáticas, Historia


  • En el siglo 16, la convención era que la multiplicación precedía a la suma y a la resta. En esta época no se usaba aún la potenciación.
  • En 1982, en Mental Arithmetic, M. A. Bailey aconseja evitar expresiones que contengan ambas operaciones ÷ y ×.
  • En 1898, en Text-Book of Algebra, escrito por G. E. Fisher e I. J. Schwat, la expresión a÷b×b es interpretada como (a÷b)×b.
  • En 1907, en High School Algebra, Elementary Course, de Slaught y Lennes, se recomienda que primero se desarrollen las multiplicaciones, en cualquier orden, y luego las divisiones, conforme aparezcan de izquierda a derecha.
  • En 1910, en First Course of Algebra, de Hawkes, Luby y Touton, los autores escriben que ÷ y × deberían tomarse en el orden que aparecen.
  • En 1912, en First Year Algebra, de Webster Wells y Walter W. Hart, se indica que: “Las operaciones deben desarrollarse en el siguiente orden: primero todas las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha, luego todas las sumas y restas, también de izquierda a derecha”.
  • En 1913, en Second Course in Algebra, de Webster Wells y Walter W. Hart, se menciona: “Está acordado que las operaciones bajo el símbolo radical o símbolos de agrupación se deben desarrollar antes que todos los demás; después, todas las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha, y al final, todas las sumas y restas, también de izquierda a derecha”.
  • En 1917, en “The Report of the Committee on the Teaching of Arithmetic in Public Schools, Mathematical Gazette 8238, se recomienda el uso de paréntesis para evitar ambigüedades en esos casos.
  • En A History of Mathematical Notations (1928-1929), Florian Cajori escribió (vol. 1, page 274), “Si una operación aritmética o algebraica contiene ÷ y ×no existe, en el presente, un acuerdo de cuál signo debería usarse primero.
  • Los libros de texto modernos parecen estar de acuerdo en que todas las multiplicaciones y divisiones deben desarrollarse en orden, de izquierda a derecha. Sin embargo, en el libro Florida Algebra I, publicado por Prentice Hall en el 2011, un problema pide a los estudiantes evaluar 3st2÷st+6 para valores dados de las variables, y la respuesta marcada como correcta en el libro se obtiene al dividir entre st. Un representante de la editorial ha reconocido que esta expresión es ambigua y prometió que se usaría (st) en la siguiente revisión.
Vea también:  I.4. El Infinito

Enlaces:

http://mathforum.org/library/drmath/view/54341.html

https://www.nctm.org/Publications/Mathematics-Teaching-in-Middle-School/Blog/Internalizing-the-Order-of-Operations/

http://mathforum.org/library/drmath/view/66614.html


 

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